Newtonovi interpolacijski polinomi v več spremenljivkah
delo diplomskega seminarja
Abstract
Algoritme in tehnike reševanja problema interpolacije v eni spremenljivki lahko razširimo na reševanje v več spremenljivkah z različnimi posplošitvami in nadgradnjami le-teh. Obliko Newtonove baze in algoritem deljenih diferenc za iskanje pripadajočih koeficientov lahko neposredno posplošimo za interpolacijo na mrežnih točkah. Ta posplošitev je tenzorska ali pa v obliki omejitve skupne stopnje.
Pri tej posplošitvi uporabljamo multiindeksno notacijo za sklicevanje na interpolacijske točke. Množicam interpolacijskih točk, za katere se uporablja tenzorski prostor, imenujemo polne množice. Sem sodijo t. i. škatlaste množice točk in trikotne množice točk. Poljubno izbrane interpolacijske točke ne zagotavljajo enolične interpolacije, vendar v nekaterih primerih s posplošitvijo baze, ki jo imenujemo Newton-Sauerjeva baza, pridemo do preprostega trikotnega linearnega sistema, ki vrne ustrezne koeficiente interpolacijskega polinoma. Za ustrezno število paroma različnih interpolacijskih točk nam algoritem, ki temelji na Gaussovih eliminacijah, vrne Newton-Sauerjevo bazo ali pa polinom, ki ima vrednost 0 na vseh interpolacijskih točkah, kar nam pove, da enolična interpolacija ni mogoča. Algoritem lahko uporabimo tudi, da za dan nabor interpolacijskih podatkov konstruiramo polinomski podprostor minimalne stopnje, kjer je enolična interpolacija vedno mogoča.
Keywords
matematika;interpolacija;interpolacijske točke;Newtonovi polinomi;deljene diference;algoritmi;
Data
| Language: | Slovenian |
|---|---|
| Year of publishing: | 2021 |
| Typology: | 2.11 - Undergraduate Thesis |
| Organization: | UL FMF - Faculty of Mathematics and Physics |
| Publisher: | [A. Trobec] |
| UDC: | 519.6 |
| COBISS: |
73974275
|
| Views: | 1648 |
| Downloads: | 114 |
| Average score: | 0 (0 votes) |
| Metadata: |
|
Other data
| Secondary language: | English |
|---|---|
| Secondary title: | Multivariate Newton interpolation polynomial |
| Secondary abstract: | Techniques and algorithms for finding univariate Newton interpolating polynomials can be extended to multivariate data points by different generalizations. The Newton basis format and divided-difference algorithm for coefficients can be generalized in a straightforward way when interpolating at nodes on a grid. Two different approaches, the tensor product case or the triangular case, are usually considered. The multi-index notation is used to refer to nodes. Node configurations where the tensor product case applies are called lower sets, and they include $n$-dimensional rectangles and triangles. Arbitrary distinct nodes do not ensure unique interpolating polynomials but, when possible, a different basis generalization, which we call Newton--Sauer basis, results in a nice triangular linear system for the coefficients. For the right number of distinct nodes, an algorithm based on Gaussian elimination produces either this Newton--Sauer basis or a polynomial that is zero on all nodes, showing that unique interpolation is impossible. The algorithm may also be used on any distinct nodes to produce a polynomial subspace of minimal degree where unique interpolation is possible. |
| Secondary keywords: | mathematics;interpolation;nodes;Newton polynomial;divided difference;algorithms; |
| Type (COBISS): | Final seminar paper |
| Study programme: | 0 |
| Embargo end date (OpenAIRE): | 1970-01-01 |
| Thesis comment: | Univ. v Ljubljani, Fak. za matematiko in fiziko, Oddelek za matematiko, Finančna matematika - 1. stopnja |
| Pages: | 28 str. |
| ID: | 13264741 |
Recommended works: