Sekundarni povzetek: |
Preučujemo enodimenzionalne časovno odvisne Hamiltonove sisteme ter njihovo statistično vedenje, ob predpostavki mikrokanoničnega ansambla začetnih pogojev in opišemo razvoj porazdelitve energije v treh značilnih primerih: 1) parametrično brcanje, ki po definiciji pomeni nezvezne skoke kontrolnega parametra sistema, 2) linearna modulacija ter 3) periodična modulacija. V prvem primeru specifično analiziramo spremembo adiabatske invariante (kanonične akcije) sistema ob paramaterični brci: Papamikos in Robnik (2011) sta predlagala domnevo, da se akcija pri povprečni energiji vedno poveča, kar pomeni, za dani statistični ansambel, da se šrednjem Gibbsova entropija poveča (PR lastnost). Ob podrobni rigorozni analizi cele vrste sistemov pokažemo, da domneva večinoma velja, razen če potencial ni dovolj gladek (n.pr. ima nezvezen prvi odvod), ali če je energija preveč blizu stacionarni točki potenciala (separatrisi v faznem prostoru). Formuliramo domnevo šplošni obliki, izvedemo lokalno teoretično analizo ter uvedemo t.i. ABR lastnost. Za primer linearne modulacije študiramo najprej enodimenzionalne hamiltonske sisteme s homogenim potenčnim potencialom in njihove statistične lastnosti ob monotono naraščajoči časovno odvisni funkciji A(t) (predfaktor potenciala). Uporabimo nelinearno WKB podobno metodo Papamikosa in Robnika J. Phys. A: Math. Theor., 44:315102, (2012) in sledimo njunemu delu v članku J. Phys. A: Math. Theor., 45:015206, (2011), ter specifično analiziramo povprečno energijo, varianco in adiabatsko invarianto (akcijo) sistema za velike čase. Analitično pokažemo, da se povprečna energija in varianca povečujeta kot potenci A(t), medtem ko akcija oscilira and na koncu zavzame konstantno vrednost. Na osnovi študija posebnih primerov pokažemo, da je teoretična napoved točna. Za primer periodične modulacije preučujemo enodimenzionalni kvartični oscilator in njegovo statistično vedenje, ko je A(t) (predfaktor potenciala) periodična funkcija časa. Primerjamo rezultate za tri različne modulacije, periodično parametrično brcanje (nezvezni skoki parametra A(t)), odsekoma linearno modulacjo (žagasto), ter gladko (harmonično) modulacijo. Obravnavamo Floquetovo preslikavo in porazdelitev energije ter izvedemo temeljito numerično analizo uporabljajoč simplektične integratorje 8. reda ter predstavimo fazne portrete za vsak primer, razvoj povprečne energije ter porazdelitev končne energije. V primerih, ko vidimo veliko kaotično območje povezano do neskončnosti, najdemo ubežne orbite, ki pobegnejo v neskončnost, kar pomeni, da je lahko rast povprečne energije neomejena, in sicer je tipično eksponentna v času. Glavni rezultati so objavljeni v dveh člankih: Andresas, Batistić in Robnik Phys. Rev. E, 89:062927, (2014) in Andresas in Robnik J. Phys. A: Math. Theor., 47:355102, (2014). |