Manjkajoči obseg

delo diplomskega seminarja

Luka Sajovic (Avtor), David Dolžan (Mentor)

Povzetek

Za kolobar $R$ definiramo komutirajoči graf $\Gamma(R)$ kot graf, v katerem so vozlišča necentralni elementi kolobarja $R$, dve vozlišči pa sta povezani natanko tedaj, ko pripadajoča elementa komutirata v $R$. Pokažemo, da je za kolobarje matrik nad poljem in $n \ge 3$, komutirajoči graf $\Gamma (M_n(F))$ povezan natanko tedaj, ko ima vsaka $F$-razširitev stopnje $n$ pravo vmesno polje. Nadalje pokažemo, da je $\Gamma (M_n(\mathbb{Q}))$ nepovezan $n \ge 2$. Dokažemo, da če je $\Gamma (M_n(F)))$ povezan, potem je njegov premer vsaj 4 in največ 6. Poiščemo nekaj primerov komutirajočih grafov s premerom 4. Dokažemo še, da če je $F$ končno polje in $n$ ni praštevilo ali kvadrat praštevila, je ${\rm diam}\,\Gamma (M_n(F)) \le 5$.

Ključne besede

matematika;komutirajoči graf;linearna algebra;matrike;Galoisova teorija;

Podatki

Jezik:	Slovenski jezik
Leto izida:	2022
Tipologija:	2.11 - Diplomsko delo
Organizacija:	UL FMF - Fakulteta za matematiko in fiziko
Založnik:	[L. Sajovic]
UDK:	512
COBISS:	101306115
Št. ogledov:	851
Št. prenosov:	39
Ocena:	0 (0 glasov)
Metapodatki:

Ostali podatki

Sekundarni jezik:	Angleški jezik
Sekundarni naslov:	The missing field
Sekundarni povzetek:	We define the commuting graph of ring $R$ as the graph $\Gamma(R)$ in which vertices are non-central elements of ring $R$. Two vertices are adjacent if and only if the corresponding elements commute in $R$. We show that for the ring of matrices over a field where $n \ge 3$ the commuting graph $\Gamma (M_n(F))$ is connected if and only if for every $F$-extension of degree $n$ exists a proper intermediate field. We also show that $\Gamma (M_n(\mathbb{Q}))$ is not connected for $n \ge 2$. We prove that if $\Gamma (M_n(F))$ is connected then $4 \le {\rm diam}\,\Gamma (M_n(F)) \le 6$. We find some examples of commuting graphs with diameter 4. We also prove that ${\rm diam}\,\Gamma (M_n(F)) \le 5$ if $F$ is a finite field and $n$ is not a prime nor square of a prime.
Sekundarne ključne besede:	mathematics;commuting graph;linear algebra;matrices;Galois theory;
Vrsta dela (COBISS):	Delo diplomskega seminarja/zaključno seminarsko delo/naloga
Študijski program:	0
Komentar na gradivo:	Univ. v Ljubljani, Fak. za matematiko in fiziko, Oddelek za matematiko, Matematika - 1. stopnja
Strani:	29 str.
ID:	14785285