Diofant-Davenportov problem za Gaussova cela števila

diplomsko delo

Katja Bezjak (Avtor), Daniel Eremita (Mentor)

Povzetek

Grški matematik Diofant je ugotovil, da ima množica racionalnih števil {1/16, 33/16, 17/4, 105/16} tako lastnost, da je produkt poljubnih dveh različnih števil iz te množice povečan za 1, kvadrat racionalnega števila. Prvo množico naravnih števil z zgornjo lastnostjo je našel Fermat. To je množica {1, 3, 8, 120}. Davenport in Baker pa sta leta 1969 dokazala, da če je d tako naravno število, da ima množica {1, 3, 8, d} Diofantovo lastnost, potem je d = 120. Naj bo z Gaussovo celo število in naj bo m%2 naravno število. Množica neničelnih Gaussovih celih števil {a_1,a_2, ... ,a_m} ima lastnost D(z), če je produkt poljubnih dveh različnih elementov te množice povečan za z, kvadrat Gaussovega celega števila. Taki množici pravimo kompleksna diofantska m-terica z lastnostjo D(z). V diplomskem delu bomo dokazali (izrek 3.2.1), da v primeru, ko je b liho celo število ali če je a%b%2 (mod 4), potem kompleksna diofantska četvorka z lastnostjo D(a + bi) ne obstaja. Dokazali bomo tudi (posledica 3.2.2), da obstajata vsaj dve ne ekvivalentni kompleksni diofantski četvorki z lastnostjo D(z), če je Gaussovo celo število z možno zapisati kot razliko kvadratov dveh Gaussovih celih števil in z%{%2,%1%2i,%4i}. Zadnji del diplomskega dela je namenjen obravnavi kompleksnih diofantskih četvork z lastnostjo D(l^2 ). Dokazali bomo tudi (izrek 3.3.2), da vsak diofantski kompleksni par {a,b} z lastnostjo D(l^2), kjer ab ni popoln kvadrat, lahko razširimo do kompleksne diofantske četvorke z lastnostjo D(l^2) na neskončno načinov.

Ključne besede

matematika;Gaussova cela števila;diofantska četvorka;kompleksna četvorka;diplomska dela;

Podatki

Jezik:	Slovenski jezik
Leto izida:	2011
Izvor:	Maribor
Tipologija:	2.11 - Diplomsko delo
Organizacija:	UM FNM - Fakulteta za naravoslovje in matematiko
Založnik:	[K. Bezjak]
UDK:	51(043.2)
COBISS:	18507528
Št. ogledov:	2209
Št. prenosov:	148
Ocena:	0 (0 glasov)
Metapodatki:

Ostali podatki

Sekundarni jezik:	Angleški jezik
Sekundarni naslov:	THE PROBLEM OF DIOPHANTUS AND DAVENPORT FOR GAUSSIAN INTEGERS
Sekundarni povzetek:	The Greek mathematician Diophantus noted that the set of rational numbers {1/16,33/16,17/4 ,105/16} has the following property: the product of any two distinct numbers in this set increased by 1 is a square of a rational number. Fermat first found a set of four positive integers with the above property, and it was {1, 3, 8, 120}. Later, Davenport and Baker showed that if d is a positive integer such that the set {1, 3, 8, d} has the property of Diophantus, then d has to be 120. Let z be a Gaussian integer and let m%2 be an integer. A set of nonzero Gaussian interegs {a_1,a_2, ... ,a_m } is said to have the property D(z) if the product of any two distinct elements increased by z is a square of a Gaussian integer. Such a set is called a complex Diophantine m-tuple with the property D(z). In this graduation thesis we prove (Theorem 3.2.1) that if b is an odd integer or a%b%2 (mod 4), then there does not exist a complex Diophantine quadruple with the property D(a+bi). We also prove (Theorem 3.2.2) that if a Gaussian integer z is representable as a difference of the squares of two Gaussian integer and z%{%2,%1%2i,%4i}, then there exist at least two nonequivalent complex Diophantine quadruples with the property D(z). In the last part of the thesis we consider complex Diophantine quadruples with the property D(l^2 ). We shall see (Theorem 3.3.2) that every complex Diophantine pair {a,b} with the property D(l^2 ), where ab is not a perfect square, can be extended to the complex Diophantine quadruple with the same property in an infinite number of ways.
Sekundarne ključne besede:	Diofant-Davenport problem;Gaussian integers;Diophantine quadruple;complex Diophantine quadruple;
URN:	URN:SI:UM:
Vrsta dela (COBISS):	Diplomsko delo
Komentar na gradivo:	Univ. v Mariboru, Fak. za naravoslovje in matematiko, Oddelek za matematiko in računalništvo
Strani:	36 f.
Ključne besede (UDK):	mathematics;natural sciences;naravoslovne vede;matematika;mathematics;matematika;
ID:	19365