Domination game played on trees and spanning subgraphs

Boštjan Brešar (Avtor), Sandi Klavžar (Avtor), Douglas F. Rall (Avtor)

Povzetek

Igra dominacije na grafu ▫$G$▫ je bila vpeljana v [B. Brešar, S. Klavžar, D. F. Rall, Domination game and an imagination strategy, SIAM J. Discrete Math. 24 (2010) 979-991]. Dva igralca, Dominator in Zavlačevalec, drug za drugim izbirata po eno vozlišče grafa. Vsako izbrano vozlišče mora povečati množico vozlišč, ki so bila dominirana do tega trenutka igre. Oba igralca izbirata optimalno strategijo, pri čemer Dominator želi igro končati v najmanjšem možnem številu korakov, Zavlačevalec pa v največjem možnem številu korakov. Igralno dominacijsko število ▫$\gamma_g(G)$▫ je število izbranih vozlišč v igri, kjer je Dominator prvi izbral vozlišče. Ustrezno invarianto, ko igro začne Zavlačevalec, označimo z ▫$\gamma_g'(G)$▫. V članku sta obe igri proučevani na drevesih in vpetih podgrafih. Dokazana je spodnja meja za igralno dominacijsko število drevesa, ki je funkcija njegovega reda in maksimalne stopnje. Pokazano je, da je meja asimptotično optimalna. Dokazano je, da za vsak ▫$k$▫ obstaja drevo ▫$T$▫ z ▫$(\gamma_g(T),\gamma_g'(T)) = (k,k+1)$▫ in postavljena je domneva, da ne obstaja drevo z ▫$(\gamma_g(T),\gamma_g'(T)) = (k,k-1)$▫. Obravnavana je povezava med igralnim dominacijskim številom grafa in njegovimi vpetimi podgrafi. Dokazano je, da obstajajo 3-povezani grafi ▫$G$▫, ki vsebujejo 2-povezani vpeti podgraf ▫$H$▫, tako da je igralno dominacijsko število grafa ▫$H$▫ poljubno manjše od igralnega dominacijskega števila grafa ▫$G$▫. Podobno je dokazano, da za vsako celo število ▫$\ell \ge 1$▫ obstajata graf ▫$G$▫ in njegov vpeti podgraf $T$, tako da velja ▫$\gamma_g(G)-\gamma_g(T) \ge \ell$▫. Po drugi strani obstajajo grafi ▫$G$▫, za katere je igralno dominacijsko število vsakega vpetega drevesa v ▫$G$▫ poljubno večje od igralnega dominacijskega števila od ▫$G$▫.

Ključne besede

igra dominacije;igralno dominacijsko število;drevo;vpeti podgraf;graph theory;domination game;game domination number;tree;spanning subgraph;

Podatki

Jezik:	Angleški jezik
Leto izida:	2013
Tipologija:	1.01 - Izvirni znanstveni članek
Organizacija:	UL FMF - Fakulteta za matematiko in fiziko
UDK:	519.17:519.83
COBISS:	16564313
ISSN:	0012-365X
Št. ogledov:	43
Št. prenosov:	25
Ocena:	0 (0 glasov)
Metapodatki:

Ostali podatki

Sekundarni jezik:	Slovenski jezik
Sekundarni naslov:	Igra dominacije na drevesih in vpetih podgrafih
Sekundarni povzetek:	The domination game, played on a graph ▫$G$▫, was introduced in [B. Brešar, S. Klavžar, D. F. Rall, Domination game and an imagination strategy, SIAM J. Discrete Math. 24 (2010) 979--991]. Vertices are chosen, one at a time, by two players Dominator and Staller. Each chosen vertex must enlarge the set of vertices of ▫$G$▫ dominated to that point in the game. Both players use an optimal strategy-Dominator plays so as to end the game as quickly as possible, Staller plays in such a way that the game lasts as many steps as possible. The game domination number ▫$\gamma_g(G)$▫ is the number of vertices chosen when Dominator starts the game and the Staller-start game domination number ▫$\gamma_g'(G)$▫ when Staller starts the game. In this paper these two games are studied when played on trees and spanning subgraphs. A lower bound for the game domination number of a tree in terms of the order and maximum degree is proved and shown to be asymptotically tight. It is shown that for every ▫$k$▫, there is a tree ▫$T$▫ with ▫$(\gamma_g(T),\gamma_g'(T)) = (k,k+1)$▫ and conjectured that there is none with ▫$(\gamma_g(T),\gamma_g'(T)) = (k,k-1)$▫. A relation between the game domination number of a graph and its spanning subgraphs is considered. It is proved that there exist 3-connected graphs ▫$G$▫ having a 2-connected spanning subgraph ▫$H$▫ such that the game domination number of ▫$H$▫ is arbitrarily smaller than that of ▫$G$▫. Similarly, for any integer ▫$\ell \ge 1$▫, there exists a graph ▫$G$▫ and a spanning tree ▫$T$▫ such that ▫$\gamma_g(G)-\gamma_g(T) \ge \ell$▫. On the other hand, there exist graphs ▫$G$▫ such that the game domination number of any spanning tree of ▫$G$▫ is arbitrarily larger than that of ▫$G$▫.
Sekundarne ključne besede:	igra dominacije;igralno dominacijsko število;drevo;vpeti podgraf;
URN:	URN:SI:UM:
Vrsta dela (COBISS):	Delo ni kategorizirano
Strani:	str. 915-923
Letnik:	Vol. 313
Zvezek:	iss. 8
Čas izdaje:	2013
ID:	1476744