Uporaba Lévyjevih procesov v finančni matematiki

doktorska disertacija

Rok Okorn (Author), Matjaž Omladič (Mentor)

Abstract

V zadnjem desetletju so postali Lévyjevi procesi in ostali procesi s skoki popularni za modeliranje procesa gibanja cen na kapitalskem trgu, tako pri upravljanju s tveganji kot pri vrednotenju opcij in drugih izvedenih finančnih instrumentov. Čeprav je teorija omenjenih procesov znana kar nekaj časa, pa so jih v finančno matematiko vpeljali ob koncu osemdesetih in v začetku devetdesetih let 20. stoletja. Od tedaj je bilo posebej raziskanih veliko različnih procesov kot so ▫$\alpha$▫-stabilni, gama, normalni inverzni Gaussovi in posplošeni hiperbolični procesi. Vsi ti se sedaj uporabljajo pri vrednotenju izvedenih finančnih instrumentov, saj je iz empiričnih raziskav jasno, da normalna porazdelitev in Brownovo gibanje ne odražata gibanja cen na kapitalskem trgu v vsej polnosti in splošnosti. Procesi, ki poleg zveznih gibanj upoštevajo tudi skoke, pa so teoretično zelo zahtevni. Že tako zahtevne metode stohastične analize, ki so bile razvite v petdesetih letih prejšnjega stoletja, so zaradi upoštevanja dodatnega spreminjanja procesa s skoki postale še težje. Prav ti dodatni tehnični zapleti so zmanjšali možnost analitičnega reševanja stohastičnih diferencialnih enačb ter hkrati nekoliko zožili tudi uporabo numeričnih metod za reševanje tovrstnih problemov. Mnogi analitiki vse bolj ugotavljajo pomanjkljivosti Monte Carlo metod, ki so bile v preteklosti za reševanje zveznih problemov najpogosteje uporabljene, zato so pričeli z razvijanjem hitrih in direktnih metod, torej metod, s katerimi lahko brez uporabe slučajnosti pridemo do poljubno natančnega rezultata. Konkretno v našem primeru se bomo tako oprli na splošne metode reševanja stohastičnih diferencialnih enačb, predvsem parcialnih. Za vrednotenje ameriških opcij pa bomo uporabili v zadnjem času razvito metodo, ki sloni na diskretizaciji in uporabi metode končnih elementov. Za bazo končnih elementov vzamemo valčke in s tem omogočimo hitrejše izračune, saj dobimo matriko, ki ima veliko ničelnih elementov. Poleg tega pa lahko hitro izboljšamo natančnost naših rezultatov, ker je metoda osnovana na multiresolucijskem pristopu. V delu po vrsti predstavimo Lévyjeve procese in nekaj pomembnih rezultatov s tega področja. Predstavimo tudi tisti del stohastične analize, ki je pomemben za vrednotenje finančnih instrumentov, s poudarkom na Itôvi formuli za Lévyjeve procese. Nadaljujemo s predstavitvijo nekaterih finančnih in zavarovalniških produktov. Nato predstavimo osnovne metode numerične aproksimacije in integracije ter metodo končnih elementov za reševanje parcialnih diferencialnih enačb. Končno se posvetimo uporabi omenjenih teoretičnih pristopov pri vrednotenju izvedenih finančnih instrumentov, pri zavarovalniških simulacijah ter pri vrednotenju produkta variabilne rente z garancijo, poznanega pod imenom GMWB. Tu uporabimo naš inovativen pristop k vrednotenju. V dodatku na koncu predstavimo Besselove funkcije, ki jih sicer omenjamo pri porazdelitvah raznih Lévyjevih procesov ter dinamični program za vrednotenje produkta GMWB, katerega rezultate primerjamo z našim pristopom z valčki.

Keywords

Lévyjevi procesi;stohastični integrali;stohastične diferencialne enačbe;ameriške opcije;finančni instrumenti;variabilne rente;

Data

Language:	Slovenian
Year of publishing:	2019
Typology:	2.08 - Doctoral Dissertation
Organization:	UL FMF - Faculty of Mathematics and Physics
Publisher:	[R. Okorn]
UDC:	519.2:336(043.3)
COBISS:	18689625
Views:	1221
Downloads:	269
Average score:	0 (0 votes)
Metadata:

Other data

Secondary language:	English
Secondary title:	Lévy processes in financial mathematics
Secondary abstract:	When it comes to modelling prices on the capital markets the Lévy processes and other processes with jumps became very popular in the last decade. They are used in risk management and also in pricing options and other financial derivatives. The theory of such processes is known for a while, but in financial mathematics these processes are used since the late 80's of the 20th century. Since then there are numerous research papers deriving properties for ▫$\alpha$▫-stable, gamma, normal inverse Gaussian and generalized hyperbolic processes. All of these are now used for pricing derivatives because Gaussian distributions and Brownian motion do not mimic the motion of the financial markets well enough as has been shown by empirical studies. When processes incorporate jumps in addition to the continuous parts they become much more difficult to work with, even on the theoretical level. Methods of stochastic analysis become even more complicated when the jump term exists and because of that there are fewer methods to solve stochastic differential equations and even less analytic ones. On the other hand many researchers increasingly recognize the weaknesses of the Monte Carlo methods, which have been most used in the past. Therefore researchers started developing fast and direct approach methods by which one can obtain arbitrarily accurate results without randomness. In our case we will use such methods for solving partial differential equations. We will use the method based on discretization and finite elements which was developed in the past years for American option pricing. For the finite elements basis we will use wavelets which allows us fast computation since the obtained matrix is sparse. In addition one can easily increase accuracy due to the multiresolution technique. In the thesis we first introduce Lévy processes and some important results in the field. Next we present a part of the stochastic analysis for Lévy processes which is important for the pricing of financial derivatives and give special emphasis to the Itô formula for Lévy processes. We continue with the description of some financial derivatives and insurance products. In the continuation we give a method for solving the differential equations and methods of numerical approximation and integration. Finally, we apply these methods and theoretical results to the pricing of financial derivatives, economic scenario generators and pricing variable annuities, especially the product GMWB. Our introduced approach for the latter seems to be new. In the appendix we describe Bessel functions which are used in some special Lévy processes. We also present another algorithm for the pricing of the GMWB, namely dynamic programming algorithm with which we compare our numerical results.
Secondary keywords:	Lévy processes;stochastic integrals;stochastic differential equations;American options;financial derivatives;variable annuities;ESG;GMWB;Finančna matematika;Disertacije;Lévyjevi procesi;
Type (COBISS):	Doctoral dissertation
Study programme:	0
Embargo end date (OpenAIRE):	1970-01-01
Thesis comment:	Univ. v Ljubljani, Fak. za matematiko in fiziko, Oddelek za matematiko, Matematična statistika - 3. stopnja
Pages:	VIII, 84 str.
ID:	11186695